home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter4.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  5.7 KB  |  314 lines
  1. à 4.2è Reduction ï Order Given One Solution
  2.  
  3. äèUse reduction ï order ë fïd ê second fundamental
  4. èèèèèèèsolution ç ê given differential equation.    
  5.  
  6. â        For ê differential equation
  7.             y»» - 6y» + 9 = 0
  8.     one solution isè
  9.             eÄ╣
  10.     By usïg reduction ï order, ê second, ïdependent solution
  11.     is shown ë be
  12.             xeÄ╣.
  13.  
  14. éS        The method ç REDUCTION IN ORDER is due ë D'ALEMBERT.
  15.     It will be illustrated for a general, lïear, homogeneous,
  16.     second order, diiferential equation but can be extended ë
  17.     ë differential equations ç higher order for which one or more
  18.     solution(s) are known.
  19.  
  20.         Let ê known solution ç
  21.             y»» + p(x)y» + q(x)y = 0
  22.     be y¬ å construct ê function
  23.             y(x) = v(x)y¬(x)
  24.     Differentiatïg yields
  25.         y»è=èvy¬» + v»y¬
  26.     å
  27.         y»» =èvy¬»» + v»y¬» + v»y¬» + v»»y¬
  28.  
  29.         èè=èvy¬»» + 2v»»y¬» + v»»y¬
  30.     Substitutïg ïë ê differential equation
  31.     è vy¬»» + 2v»»y¬» + v»»y¬ + p(vy¬» + v»y¬) + qvy¬ = 0
  32.  
  33.     è vy¬»» + 2v»»y¬» + v»»y¬ + pvy¬» + pv»y¬ + qvy¬ = 0
  34.  
  35.     è v»»y¬ + v»(2y¬» + py¬) + v(y¬»» + py¬» + qy¬) = 0
  36.     The coefficient ç v is just ê differential equation that
  37.     y¬ was assumed ë a solution so that term is zero å ê
  38.     REDUCED EQUATION IN v becomes
  39.     
  40.         v»»y¬ + (2y¬» + py¬)v» = 0
  41.  
  42.     èè This differential equation is a FIRST ORDER one for 
  43.     ê variableè v»è which is BOTH LINEAR å SEPARABLE å hence
  44.     can be solved by ê methods ç Chapter 2.èOnceèv» is known,
  45.     it can be ïtegrated directly ë fïd v å hence ë fïd ê
  46.     second solutionè
  47.             y½ = vy¬
  48.  
  49.     èèThis method is known as reduction ï order because, ê
  50.     differential equations that have ë be solved are one order
  51.     less than ê origïal.
  52.  
  53.  1    y»» - 5y» + 6y = 0 given eÄ╣ is a solution
  54.  
  55.  
  56.  
  57.     A)    1    B)    eúÄ╣    C)    eì╣    D)    eÄ╣
  58.  
  59. ü        With eÄ╣ given as one solution, reduction ï order,
  60.     suggests ê oêr solution will be ç ê form
  61.  
  62.         y = veÄ╣
  63.  
  64.     Differentiatïg
  65.  
  66.         y» = v»eÄ╣ + 3veÄ╣
  67.     å
  68.         y»» = v»»eÄ╣ + 6v»eÄ╣ + 9veÄ╣
  69.  
  70.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  71.  
  72.     v»»eÄ╣ + 6v»eÄ╣ + 9veÄ╣ - 5(v»eÄ╣ + 3veÄ╣) + 6veÄ╣ = 0
  73.  
  74.     Rearrangïg ï descendïg order ç derivatives ç v
  75.  
  76.     v»»eÄ╣ + v»eÄ╣(6 - 5) + veÄ╣(9 - 15 + 6) = 0
  77.     This yields
  78.         v»»eÄ╣ + v»eÄ╣ = 0
  79.     Cancellïg eÄ╣ yields
  80.         v»» + v» = 0
  81.     Treatïg v» as ê variable yields
  82.         dv»
  83.         ───è=è-v»
  84.         dx
  85.     This is a separable first order differential equation
  86.         dv»
  87.         ───è=è-dx
  88.         v»
  89.     Integratïg both sides yields
  90.         ln[v»] = -x
  91.     Solvïg for v»
  92.         v» = eú╣
  93.     Integratïg yields
  94.         v = -eú╣
  95.     The second solution is ên
  96.         y = -eú╣(eÄ╣)è=è-eì╣
  97.     As ê sign is taken up ï ê arbitrary constant
  98.         y = eì╣
  99.     The general solution is
  100.         C¬eÄ╣ + C½eì╣
  101. ÇèC
  102.  
  103.  2è y»» - 6y» + 9y = 0ègiven eÄ╣ is a solution
  104.  
  105.  
  106.  
  107.     A)    eúÄ╣    B)    xeÄ╣    C)    x    D)    eÄ╣
  108.  
  109. ü        With eÄ╣ given as one solution, reduction ï order,
  110.     suggests ê oêr solution will be ç ê form
  111.  
  112.         y = veÄ╣
  113.  
  114.     Differentiatïg
  115.  
  116.         y» = v»eÄ╣ + 3veÄ╣
  117.     å
  118.         y»» = v»»eÄ╣ + 6v»eÄ╣ + 9veÄ╣
  119.  
  120.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  121.  
  122.     v»»eÄ╣ + 6v»eÄ╣ + 9veÄ╣ - 6(v»eÄ╣ + 3veÄ╣) + 9veÄ╣ = 0
  123.  
  124.     Rearrangïg ï descendïg order ç derivatives ç v
  125.  
  126.     v»»eÄ╣ + v»eÄ╣(6 - 6) + veÄ╣(9 - 18 + 9) = 0
  127.  
  128.     This yields
  129.  
  130.         v»»eÄ╣è=è0
  131.  
  132.     Cancellïg eÄ╣ yields
  133.     
  134.         v»»è=è0
  135.  
  136.     This can be directly ïtegrated twice ë yield
  137.  
  138.         vè=èxè (let ê first constant ç ïtegration = 0)
  139.     
  140.     The second solution is ên
  141.  
  142.         y = xeÄ╣
  143.  
  144.     The general solution is
  145.  
  146.         C¬eÄ╣ + C½xeÄ╣
  147.  
  148. ÇèB
  149.  
  150.  3    xìy»» - 3xy»è=è0èx > 0ègiven 1 is a solution
  151.  
  152.  
  153.  
  154.     A)    xî»Å    B)    xúî»Å    C)    xÅ    D)    xúÅ
  155.  
  156. ü        With 1 given as one solution, reduction ï order,
  157.     suggests ê oêr solution will be ç ê form
  158.  
  159.         y = v(1) = v
  160.  
  161.     Differentiatïg
  162.  
  163.         y» = v»
  164.     å
  165.         y»» = v»»
  166.  
  167.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  168.  
  169.         xìv»»- 3xv» = 0
  170.  
  171.     Treatïg v» as ê variable yields
  172.  
  173.         èdv»
  174.         xì───è=è3xv»
  175.         èdx
  176.  
  177.     This is a separable first order differential equation
  178.  
  179.         dv»èè 3 dx
  180.         ───è=è────
  181.         v»    èx
  182.  
  183.     Integratïg both sides yields
  184.  
  185.         ln[v»] = 3 ln[x] = ln[xÄ]
  186.  
  187.     Solvïg for v»
  188.  
  189.         v» = xÄ
  190.  
  191.     Integratïg yields
  192.  
  193.         v = xÅ/4
  194.  
  195.     The second solution is ên
  196.  
  197.         y = xÅ/4(1)è=èxÅ/4
  198.  
  199.     As ê 4 is taken up ï ê arbitrary constant
  200.  
  201.         y = xÅ
  202.  
  203.     The general solution is
  204.  
  205.         C¬ + C½xÅ
  206.  
  207. ÇèC
  208.  
  209.  4    xìy»» - 2xy» + 2y = 0èx > 0;ègiven x is a solution
  210.  
  211.  
  212.  
  213.     A)    1    B)    x    C)    xì    D)    xÄ
  214.  
  215. ü        With x given as one solution, reduction ï order,
  216.     suggests ê oêr solution will be ç ê form
  217.  
  218.         y = v(x) = vx
  219.  
  220.     Differentiatïg
  221.  
  222.         y» = v»x + v
  223.     å
  224.         y»» = v»»x + 2v»
  225.  
  226.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  227.  
  228.         xì(v»» + 2v») - 2x(v»x + v) + 2vx = 0
  229.  
  230.     Rearrangïg ï descendïg derivatives ç v
  231.  
  232.         xìv»» + (2xì - 2xì)v» + (-2x + 2x)v = 0
  233.     Or
  234.         xìv»»è=è0
  235.  
  236.     Cancellïg xì gives
  237.  
  238.         v»»è=è0
  239.  
  240.     Integratïg twice (first constant ç ïtegration set ë zero)
  241.  
  242.         vè=è x
  243.  
  244.     The second solution is ên
  245.  
  246.         y = x(x)è=èxì
  247.  
  248.     The general solution is
  249.  
  250.         C¬x + C½xì
  251.  
  252. ÇèC
  253.  5
  254. èèèè     xì(x+1)y»» - 2xy» + 2y = 0 given x is a solution
  255.  
  256.         A)èx / [x+1]        B)    [x+1] / x
  257.  
  258.         C)è x / [xì+1]        D)    [xì+1] / x
  259.  
  260. ü        With x given as one solution, reduction ï order,
  261.     suggests ê oêr solution will be ç ê form
  262.  
  263.         y = v(x) = vx
  264.  
  265.     Differentiatïg
  266.  
  267.         y» = v»x + v
  268.     å
  269.         y»» = v»»x + 2v»
  270.  
  271.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  272.  
  273.         xì(x+1)(v»» + 2v») - 2x(v»x + v) + 2vx = 0
  274.  
  275.     Rearrangïg ï descendïg derivatives ç v
  276.  
  277.         xì(x+1)v»» + (2xì(x+1) - 2xì)v» + (-2x + 2x)v = 0
  278.     Or
  279.         xì(x+1)v»» + 2xìv»è=è0
  280.  
  281.     Cancellïg xì gives
  282.  
  283.         (x+1)v»» + 2v» =è0
  284.     Treatïg v» as ê variable yields
  285.         èè dv»
  286.         (x+1)───è=è-2v»
  287.         èè dx
  288.     This is a separable first order differential equation
  289.         dv»èè -2 dx
  290.         ───è=è─────
  291.         v»    x + 1
  292.     Integratïg both sides yields
  293.         ln[v»] = -2 ln[x + 1] = ln[(x+1)úì]
  294.     Solvïg for v»
  295.         v» = (x+1)úì
  296.     Integratïg yields
  297.         v = -(x+1)úî
  298.     The second solution is ên
  299.         y = x(-(x+1)úî)è=è-x / [x+1] or x / [x+1]
  300.     The general solution is
  301.             èx
  302.         C¬x + C½─────
  303.             x + 1
  304. ÇèA
  305.  
  306.  
  307.  
  308.  
  309.  
  310.  
  311.  
  312.  
  313.  
  314.